题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4| 3 |
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD．
分析：（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．求出高PO和底面ABCD的面积，可求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，求出
，
，计算
•
=0，就证明了PA⊥BD．
法二：连接AO，延长AO交BD于点F，通过相似和计算，证明直线BD垂直直线PA在平面ABCD内的身影AF，即可证明PA⊥BD．
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，求出
| PA |
| BD |
| PA |
| BD |
法二：连接AO，延长AO交BD于点F，通过相似和计算，证明直线BD垂直直线PA在平面ABCD内的身影AF，即可证明PA⊥BD．
解答：
解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3
，四棱锥P-ABCD的体积
VP-ABCD=
×8×4
×3
=96．
（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得
P（0，0，3
），A（2
，-3，0），B（2
，5，0），D（-2
，-3，0）
所以
=(2
，-3，-3
)，
=(-4
，-8，0)．
因为
•
=-24+24+0=0，所以PA⊥BD．
法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO=3，AE=2
，又知AD=4
，AB=8，得
=
．
所以Rt△AEO∽Rt△BAD．
得∠EAO=∠ABD．
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD．
因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD．
解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3
| 3 |
VP-ABCD=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得
P（0，0，3
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
所以
| PA |
| 3 |
| 3 |
| BD |
| 3 |
因为
| PA |
| BD |
法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO=3，AE=2
| 3 |
| 3 |
| EO |
| AE |
| AD |
| AB |
所以Rt△AEO∽Rt△BAD．
得∠EAO=∠ABD．
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD．
因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD．
点评：本题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力．
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