题目内容

如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A1和CDD'C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D1的大小为q，若，求t的取值范围；
（2）在线段D1E上是否存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，设BE=t，分别求出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据，构造不等式，解不等式即可得到答案．
（2）假设存在满足题意的点P，令=λ，则可以求出P点的坐标，再根据平面PA1C1∥平面EAC，我们可根据•=0，构造方程，解方程即可求出满足条件的λ的值．
解答：解：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．设BE=t（t＞0）．

（1）A（，0，0），C（-，0，0），D1（0，，a），E（0，，t）
=（-，，a），=（，0，0）
设平面D1AC的法向量为，
则，
令z1=1得．
=（-，，t），设平面EAC的法向量为，
则，
令z2=-a得．
设二面角E-AC-D1的大小为θ，则cosθ==．
∵∴
∴≤||≤
解得
所以t的取值范围是．
（2）假设存在满足题意的点P，
令=λ
则P（0，，）
由平面PA1C1∥平面EAC，
得A1P∥平面EAC，
∴•=0
∴t•-=0，
化简：λ=（t≠a）
即线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，P分所成的比λ=（t≠a）；
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，民平面平行的判定，（1）的关键是出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据，构造不等式，（2）的关键是根据•=0，构造方程．
练习册系列答案
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（Ⅰ） 设二面角E-AC-D1的大小为θ，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，求
D1P
PE
与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有
D1P
PE
＜1．
如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A1和CDD'C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D1的大小为q，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求t的取值范围；
（2）在线段D1E上是否存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，若存在，求出P分
D1E
所成的比λ；若不存在，请说明理由．
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(本题满分14分)

如图1，在平面内，ABCD是的菱形，ADD``A1和CD D`C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．

  

(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q，若£ q £ ，求线段BE长的取值范围；

(Ⅱ)在线段上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有< 1．

 

己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且

(I )求角大小；

(II)当时，求的取值范围.

20．如图1，在平面内，是的矩形，是正三角形，将沿折起，使如图2，为的中点，设直线过点且垂直于矩形所在平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧。

（1）求证：平面；

（2）设二面角的平面角为，若，求线段长的取值范围。

 


21.已知A，B是椭圆的左，右顶点，，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点

(1)求椭圆C的方程；

（2）求三角形MNT的面积的最大值

22. 已知函数 ，

（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。

（Ⅱ）若为奇函数：

（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围.
如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ） 设二面角E-AC-D1的大小为θ，若≤θ≤，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有＜1．

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