Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，根据多项式相等的性质，构造方程求出系数，可得f（x）的解析表达式；
（2）求出切线方程，进而得到三角形面积S（t）的表达式，结合函数的图象和性质可得最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+（a+b+c）
f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x²恒成立
∴2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+（a+b+c）
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

解得a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x²+1
（2）由（1）得f（x）=-x²+1，f′（x）=-2x
则f（t）=-t²+1，f′（t）=-2t
故切线l的方程为y-（-t²+1）=-2t（x-t）
当x=0时，y=t²+1，当y=0时，x=

t2+1

2t

，
∴S（t）=

1

2

|xy|=

(t2+1)2

4t

∴S′（t）=

(t2+1)(3t2-1)

4t2

∵t∈（0，

3

3

）时，S′（t）＜0，t∈（

3

3

，+∞）时，S′（t）＞0，
故当t=

3

3

时，S（t）取最小值

4

9

3

点评：本题考查的知识点是求二次函数的解析式，利用导数法求最值，是导数与二次函数图象和性质的综合应用，难度较大．