题目内容

【题目】已知函数fx)=2x33ax2+1

1)若a=﹣1,求函数fx)的单调区间;

2)若函数fx)有且只有2个不同的零点,求实数a的值;

3)若函数y|fx|[01]上的最小值是0,求实数a的取值范围.

【答案】(1)函数fx)的增区间为(﹣,﹣1),(0+∞),减区间为(﹣10

21

3[1+∞

【解析】

(1)求出的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;

(2)通过讨论的范围,确定函数的单调性, 函数有且只有个不同的零点即可求得的值;

(3)通过讨论的范围,确定函数的单调性,再根据函数上的最小值是并结合图像可求得实数的取值范围.

1时,

时,

,

时,

故函数的增区间为,减区间为

2

时,上单调递增,不存在两个零点;

时,递增,在递减.

其图象如下:

函数不存在2个不同的零点;

时,递增,在递减.

其图象如下:

只需即可

综上,函数有且只有个不同的零点,实数的值为.

3)①时,上单调递增,,不符合题意;

时,递增,,不符合题意;

时,递增,在递减.

图象如下:

要使函数上的最小值是,只需,

故实数的取值范围为

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