Question

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率。

（1）求椭圆方程；

（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为–，求直线l倾斜角的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

由已知，，由解得a=3，   

∴为所求 

（Ⅱ）解法一：设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)

解方程组

将①代入②并化简，得 

       

将④代入③化简后，得。                           

解得   ∴ ， 所以倾斜角  。                            

解法二：（点差法）设的中点为在椭圆内，且直线l不与坐标轴平行。

因此，，

∵，

∴两式相减得 

即  

∴。所以倾斜角

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系。

点评：典型题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，通过联立方程组得到一元二次方程，应用韦达定理可实现整体代换，简化解题过程。涉及椭圆上两点问题，可以利用“点差法”，建立连线的斜率与a,b的关系。