Question

4．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x（x∈R）．求：
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的最小值及最小值时x的集合；
（3）函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式将函数化为f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），代入周期公式计算；
（2）由（1）的化简结果可知f（x）最小值为-$\sqrt{2}$，令2x-$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ解出f（x）取最小值时x的集合；
（3）令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解出f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2x-$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的最小值是$-\sqrt{2}$，f（x）取最小值时x的集合为{x|x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z}．
（3）令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，是基础题．