Question

【题目】已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x＞0).

(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解 (1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，

等号成立的条件是x＝e.

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，

则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，

作出g(x)＝x＋ (x＞0)的大致图象.

∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.

其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.

故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，

g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).