Question

有下列命题：
①双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
②“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若向量

a

，

b

共线，则向量

a

，

b

所在的直线平行；
④若向量

a

，

b

，

c

两两共面，则向量

a

，

b

，

c

一定也共面；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的个数（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据椭圆、双曲线的标准方程，求出它们的焦点坐标，可得①正确；根据一元二次不等式的解集和充要条件的判断，可得②不正确；根据向量共线、共面的条件，举出反例可得③④都不正确；由一元二次方程根的判别式，得到⑤正确．由此得到本题的答案．

解答：解：对于①，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点为（±

34

，0）
椭圆

x2

35

+y²=1的焦点也为（±

34

，0），它们有相同的焦点，①正确；
对于②，不等式2x²-5x-3＜0的解集为{x|-

1

2

＜x＜3}，
因此“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要条件，②不正确；
对于③，若向量

a

，

b

共线，由于

a

可能是零向量，
故向量

a

，

b

所在的直线不一定平行，③不正确；
对于④，若向量

a

，

b

，

c

两两共面，以空间坐标系内的单位向量为例同，
它们满足两两共面，但向量

a

，

b

，

c

不共面，④不正确；
对于⑤，因为方程x²-3x+3=0的根的判别式△=3²-12＜0
所以方程x²-3x+3=0没有实数根，即?x∈R，x²-3x+3≠0，故⑤正确
综上所述，可得只有①⑤是真命题
故选：B

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了椭圆、双曲线的标准方程，向量共线和共面的条件和一元二次方程根的判别式等知识，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．