Question

有下列命题：
①双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同焦点；
②“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若

a

、

b

共线，则

a

、

b

所在的直线平行；
④若

a

，

b

，

c

三向量两两共面，则

a

、

b

、

c

三向量一定也共面；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的有：

①⑤

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，分别求出双曲线和椭圆的焦点，可判断①；
解不等式2x²-5x-3＜0，判断其解集与-

1

2

＜x＜0的包含关系，结合充要条件的定义，可判断②；
根据向量共线的定义，分析

a

、

b

所在的直线位置关系，可判断③；
根据向量共面的定义，可判断④；
判断方程x²-3x+3=0根的个数，可判断⑤

解答：解：双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点坐标为（±

34

，0）点，椭圆

x2

35

+y2=1的焦点坐标也为（±

34

，0）点，故①正确；
解2x²-5x-3＜0得-

1

2

＜x＜3，∵（-

1

2

，0）?（-

1

2

，3），故“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要条件，故②错误；
若

a

、

b

共线，则

a

、

b

所在的直线平行或重合，故③错误；
若

a

，

b

，

c

三向量两两共面，则

a

、

b

、

c

三向量可能不共面，如空间坐标系中三个坐标轴的方向向量，故④错误；
∵方程x²-3x+3=0的△=-3＜0，故方程x²-3x+3=0无实根，故⑤正确
故答案为：①⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了圆锥曲线的性质，充要条件，向量共线与共面，全称命题等知识点，难度中档．