Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA₁=b，点E，F分别在棱BB₁，CC₁上，且，．设．若平面AEF⊥平面A₁EF时，求λ的值．

Answer 1

解：
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
∵，，
∴．
设平面AEF的法向量为n_{1（x，y，z）}，
则，且．
即，且．令z=1，则．
∴=是平面AEF的一个法向量．
同理，=是平面A₁EF的一个法向量．
∵平面AEF⊥平面A₁EF，∴n₁•n₂=0．
∴．解得，．
∴当平面AEF⊥平面A₁EF时，．（10分）
分析：这是一直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，所以可以借助于建空间直角坐标系，利用面面垂直，可得法向量垂直来解题．进而可求λ的值．
点评：本题以一个简单的直三棱柱为载体，考查空间面面垂直的性质应用，试题的难度适中，能有效检测学生对基础知识的掌握程度和分析问题，解决问题的能力．