Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)在区间[0，

π

2

]上的最大值及相应的x值．

Answer 1

（I）由图可知，A=1（1分）

T

4

=

π

2

，所以T=2π（2分）
所以ω=1（3分）
又f(

π

4

)=sin(

π

4

+ϕ)=1，且-

π

2

＜φ＜

π

2

所以ϕ=

π

4

（5分）
所以f(x)=sin(x+

π

4

)．（6分）

（II）由（I）f(x)=sin(x+

π

4

)，
所以g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)=sin(x+

π

4

+

π

4

)•sin(x-

π

4

+

π

4

)=sin(x+

π

2

)sinx（8分）
=cosx•sinx（9分）
=

1

2

sin2x（10分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]
故：

1

2

sin2x∈[0，

1

2

]，
当x=

π

4

时，g（x）取得最大值

1

2

．（13分）