Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

（文科）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因为A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，所以A₁D⊥B₁C₁．
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则.，设平面A₁DC的法向量为，
则有，，x=-y=-z，取x=1，得．
又因为，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量为，因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为．
（文答案）（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴．
在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得，，
∴，∴，
∴．
分析：（Ⅰ） 先证明三棱柱是直三棱柱，由CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，证得A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 如图所示建立直角坐标系A-xyz，求出二面角的两个面的法向量，求出两个法向量夹角的
余弦值，此余弦值的相反数即为所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性质可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ） 证得EF⊥平面ABC，可得，求出三角形AEB的面积和EF的长度，
即可求得结果．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，二面角的大小，直线与平面垂直的判定、性质的应用．