Question

（2013•安徽）设函数f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=

a

1+a2

，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．

解答：解：（Ⅰ）因为方程ax-（1+a²）x²=0（a＞0）有两个实根x₁=0，x2=

a

1+a2

＞0，
故f（x）＞0的解集为{x|x₁＜x＜x₂}，
因此区间I=（0，

a

1+a2

），区间长度为

a

1+a2

；
（Ⅱ）设d（a）=

a

1+a2

，则d′（a）=

1-a2

(1+a2)2

，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1-k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1-k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，
而

d(1-k)

d(1+k)

=

1-k 1+(1-k)2

1+k 1+(1+k)2

=

2-k2-k3

2-k2+k3

＜1，故d（1-k）＜d（1+k），
因此当a=1-k时，d（a）在区间[1-k，1+k]上取得最小值

1-k

2-2k+k2

，即I长度的最小值为

1-k

2-2k+k2

．

点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．