Question

7．抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足$∠AFB=\frac{2π}{3}$，过线段AB的中点M作直线l的垂线，垂足为N，则$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值，是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²
=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤$\frac{1}{2}$$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选B．

点评 本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．