Question

5．求证：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n∈N^*，n≥2），即可证明结论．

解答 证明：∵$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n∈N^*，n≥2），
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．