Question

求满足下列关系式组的正整数解组的个数．

Answer 1

131

[解] 令，由条件知，方程化为
，即．      （1）
因，故，从而．
设．因此（1）化为
．                     （2）          
下分为奇偶讨论，
（ⅰ）当为奇数时，由（2）知为奇数．
令，，代入（2）得
．     （3）
（3）式明显无整数解．故当为奇数时，原方程无正整数解．             
（ⅱ）当为偶数时，设，由方程（2）知也为偶数．从而可设，代入（2）化简得
．                     （4）
由（4）式有，故，从而可设，则（4）可化为，
．　　　　　　　　　　　（5）
因为整数，故．                                 
又，因此
，得，
．
因此，对给定的，解的个数恰是满足条件的的正因数的个数．因不是完全平方数，从而为的正因数的个数的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由题设条件，．而
25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：
，
，
，
，
，
，
，
，
从而易知

，
，
，
，
，
，
，
将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．