Question

20．某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+ϕ）	0	5		-5	0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．

Answer 1

分析 （1）由表中已知数据易得$A=5，ω=2，ϕ=-\frac{π}{6}$，可得表格和解析式；
（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，可得对称中心．

解答 解：（1）根据表中已知数据，解得$A=5，ω=2，ϕ=-\frac{π}{6}$
数据补全如下表：

ωx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+ϕ）	0	5	0	-5	0

∴函数的解析式为$f（x）=5sin（2x-\frac{π}{6}）$；
（2）函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后对应的函数是
g（x）=5sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=5sin（2x+$\frac{π}{6}$），
其对称中心的横坐标满足2x+$\frac{π}{6}$=kπ，即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴离原点最近的对称中心是$（-\frac{π}{12}，0）$

点评 本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换，涉及三角函数的对称性，属基础题．