Question

已知集合A={（x，y）|y=-x²+mx-1}，B={（x，y）|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：A∩B中有且仅有一个元素?两个方程联立得到的二次方程有且仅有一个根；通过对判别式分类讨论，结合二次方程相应的函数列出满足条件的不等式，求出m的范围．

解答：解：由题意，

y=-x2+mx-1 x+y=3(0≤x≤3

得
x²-（m+1）x+4=0在[0，3]上有且仅有一解
①△=0时方程有相等实根且在[0，3]上，即

△=(m+1)2-4×4=0 0≤ m+1 2 ≤3

∴m=3
②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，
则3²-（m+1）×3+4＜0，∴m＞

10

3

所以，m的取值范围是m=3或m＞

10

3

．

点评：本题考查二次方程的实根的分布问题：常采用画出相应的二次函数的图象、从判别式、对称轴、区间端点值的符号上加以限制．