Question

11．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-4≥0\\ 2y-3≤0\end{array}\right.$（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）．
（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域；
（2）求x+3y的最大值；
（3）求$\frac{y}{x}$的范围．

Answer 1

分析 （1）根据二元一次不等式组的应用进行作图即可．
（2）利用平移进行求解即可．
（3）利用直线斜率的几何意义进行求解．

解答 解：（1）画出如图所示的平面区域：
（2）由z=x+3y，得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式对应的可行域，
平移直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，由平移可知当直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，经过点B（0，3）时，
直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，的截距最大，此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{2y=3}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{7}{2}，\frac{3}{2}$），
代入z=x+3y，得z=$\frac{7}{2}$+$\frac{3}{2}$×3=8，
即目标函数z=x+3y的最大值为8．
（3）设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义切区域内的点到原点斜率，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2y-3=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{3}{2}$，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$）
依据平面区域得${（{\frac{y}{x}}）_{min}}=\frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{8}{3}}}=\frac{1}{4}，{（{\frac{y}{x}}）_{max}}=\frac{{\frac{3}{2}}}{1}=\frac{3}{2}$
所以$\frac{y}{x}$的范围是[$\frac{1}{4}，\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平移和直线斜率，求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．