Question

四棱锥底面是菱形，，,分别是的中点.

（1）求证：平面⊥平面；
（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的正切值.

Answer 1

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）由已知可得直线AE垂直于BC，即可得到AE垂直于AD，又因为PA垂直于AE.所以可得AE垂直于平面PAD.即可得平面要证平面⊥平面.
（2）通过点E作EG垂直于AF，EQ垂直于AC，连结QG即可证得为所求的二面角的平面角.由与平面所成的最大角为.可得AE=AH.即可得EQ,QG的大小.从求得的正切值，即二面角 的正切值.
（1）设菱形ABCD的边长为2a，则AE=
,∴AE⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF⊥面PAD.
（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.
过点A作AH⊥PD，连接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.
∵∠AHE＝，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,PA=2,PC=4a,EQ=,CQ=,GQ=,tan∠EGQ=.