题目内容

由 $数学公式$ 展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有

A.
50项
B.
17项
C.
16项
D.
15项

B
分析：根据题意，可得 $\text{[math]}$ 的二项展开式，若x的系数为有理数，即（ $\text{[math]}$ ）^100-r•（ $\text{[math]}$ ）^r为有理数，则100-r为2的倍数，r为3的倍数，设r=3n，则100-3n为2的整数倍，分析可得答案．
解答：根据题意， $\text{[math]}$ 的二项展开式为T_r+1=C₁₀₀^r•（ $\text{[math]}$ x）^100-r•（ $\text{[math]}$ ）^r=C₁₀₀^r•（ $\text{[math]}$ ）^100-r•（ $\text{[math]}$ ）^r•x^100-r，
若x的系数为有理数，即（ $\text{[math]}$ ）^100-r•（ $\text{[math]}$ ）^r为有理数，
则100-r为2的倍数，r为3的倍数，
设r=3n，则100-3n为2的整数倍，
分析可得，有17个符合条件，
故选B．
点评：本题考查二项式定理的应用，注意整数的整除的有关性质，仔细进行分析．