题目内容
【题目】已知直线:
与
轴相交于点
,点
坐标为
,过点
作直线
的垂线,交直线
于点
.记过
、
、
三点的圆为圆
.
(1)求圆的方程;
(2)求过点与圆
相交所得弦长为8的直线方程.
【答案】(1);(2)
和
.
【解析】分析:根据过、
、
三点的圆
即为以
为直径的圆,所以
的中点为圆心,半径为为
的一半。
(2)先讨论直线斜率不存在,在讨论直线斜率存在,则直线方程,利用所求直线与圆
相交所得弦长为8,由垂径定理,表示出圆心到所求直线的距离,再求解斜率。
详解:(1)由已知,
依题意,圆的圆周角
,
所以过、
、
三点的圆
即为以
为直径的圆,
所以,圆的的圆心为
的中点
,
因为,所以圆
的半径为
,
所以圆的方程为
.
(2)因为所求直线与圆相交所得弦长为8,
由垂径定理,圆的圆心到所求直线的距离为
,
易知,直线满足题意,
由已知,直线:
,
解得点
的坐标为
,
设斜率存在且满足题意的直线方程为,即
,
则圆心到直线
的距离为
,
令,解得
,
所以,所求直线方程为和
.
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