Question

解答题（本题共10分．请写出文字说明, 证明过程或演算步骤）：
已知是椭圆上一点，，是椭圆的两焦点，且满足
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设、是椭圆上任两点，且直线、的斜率分别为、，若存在常数使，求直线的斜率.

Answer 1

（I）；（II）。

解析试题分析：(I)根据,可知a=2,所以再把点A的坐标代入椭圆方程求出b的值，求出椭圆的方程.
（II）设直线AC的方程：，由，得：
点C，同理求出D的坐标，再利用斜率公式即可证明CD的斜率为定值.
（I）所求椭圆方程…………………3分；
（II）设直线AC的方程：，由，得：
点C…………………………..5分；
同理 ………………………..6分；
 
……………………8分；
要使为常数， +（1-）=0，
得…………………………10分.
考点：椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的位置关系.
点评：椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值，也就是常数2a,再根据其它条件建立关于b的方程，求出b即可得到椭圆的标准方程.
在证明CD的斜率为定值时，关键是求出点C，D的坐标，需要用直线方程与椭圆方程联立求解.