题目内容
【题目】（本小题满分12分）如图所示，在长方体
中，
，（
），
、
分别是
和
的中点，且
平面
.
（1）求
的值；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题（1）分析题意，以
为原点，
，
，
的方向分别作为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出
，
的坐标，计算向量的数量积，求得
，
，
，则由条件可知是平面
的法向量，利用
，
即可求得
的值；（2）分别求出平面
与平面
的一个法向量，利用法向量即可求得二面角
的余弦值.
试题解析：以
为原点，
，
，
为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，则
，则
，
，
，
，
，
，
， 2分
（1）由已知可得
，
，
， 3分
∵
,
，∴，， 4分
即
，∴； 5分
（2）设平面的法向量为
，则
，
∵
，
，∴
，∴
，
，
∴
， 7分
由（1）可得
为平面的法向量，且
， 9分
∴
， 11分
又∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为. 12分
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