题目内容

(本小题满分13分)如图,直三棱柱A1B1C1—ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

(1)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值;

(2)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD?

若存在,确定其位置并证明结论;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)    (Ⅱ)  F为AC中点


解析:

法一:(1)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G

于M,连结BM∵BC⊥平面ACC??1A1  

∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影

∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角

       平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点

∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,

   ,  余弦值为  …6分

(2)在线段AC上存在一点F,使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点,证明如下:

∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 , ∴B1C1//BC

∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA

∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ,F为AC中点 ∴C1F⊥A1D   ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A1BD

∵E为定点,平面A1BD为定平面,点F唯一  …13分

解法二:(1)∵A1B1C1—ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得C(0,0,0) B(2,0,0)  A(0,2,0)

C1(0,0,2)  B1(2,0,2)  A??1(0,2,2)D(0,0,1)  E(1,0,2) 

   设平面A1BD的法向量为n=(1,)

 

平面ACC1A1??的法向量为=(1,0,0)   

(2)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD

欲使EF⊥平面A1BD    由(2)知,当且仅当//  

∴存在唯一一点F(0,1,0)满足条件. 即点F为AC中点

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网