Question

14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=$\frac{1}{3}$，求B．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：3sinAcosC=2sinCcosA，又tanA=$\frac{1}{3}$，可得tanC，从而可求tanB=-tan（A+C）的值，结合范围0＜B＜π，即可解得B的值．

解答 解：∵3acosC=2ccosA，
∴由正弦定理可得：3sinAcosC=2sinCcosA，解得：3tanA=2tanC，
∵tanA=$\frac{1}{3}$，
∴tanC=$\frac{1}{2}$，
∴tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=-$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
∵0＜B＜π，
∴解得：B=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式的应用，熟练掌握相关公式和定理是解题的关键，属于基础题．