Question

（2013•海口二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为

5

5

，求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o-xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到

AC

、

AP

、

DE

的坐标．由数量积的坐标运算公式算出

DE

•

AC

=0且

DE

•

AP

=0，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；
（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是

DE

，算出

DE

、

PE

夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出

n

=（1，-1，-1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量

DE

=(2，-1，0)，算出

n

、

DE

的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD，可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，如图所示…（2分）
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）   （λ＞0）
∴

AC

=(2，4，0)，

AP

=(0，0，λ)，

DE

=(2，-1，0)
得

DE

•

AC

=4-4+0=0，

DE

•

AP

=0，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）
∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是

DE

=(2，-1，0)，

PE

=(2，1，-λ)
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

PE

，

DE

＞|=|

4-1

5 5+λ2

|=

5

5

，解之得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）（8分）
设平面PCD的一个法向量为

n

=（x₀，y₀，z₀），

DC

=(2，2，0)，

DP

=(0，-2，2)
由

n

⊥

DC

，

n

⊥

DP

，得到

2x0+2y0=0 -2y0+2z0=0

，
令x₀=1，可得y₀=z₀=-1，得

n

=（1，-1，-1）（10分）
∴cos＜

n

，

DE

＞=

2+1

3 × 5

=

15

5

（11分）
由图形可得二面角A-PC-D的平面角是锐角，
∴二面角A-PC-D的平面角的余弦值为

15

5

．（12分）

点评：本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A-PC-D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．