题目内容
7.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,$\frac{2{S}_{n}}{n}$=an+1-$\frac{(n+1)(n+2)}{3}$,n∈N*.(1)证明:数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列,并求数列{an}的通项公式.
(2)当x≥1时,比较lnx与x2-x的大小关系,并证明:$\frac{2}{ln{a}_{n+1}}$+$\frac{2}{ln{a}_{n+2}}$+…+$\frac{2}{ln{a}_{n+2015}}$>$\frac{2015}{n(n+2015)}$,n∈N*.
分析 (1)通过对$\frac{2{S}_{n}}{n}$=an+1-$\frac{(n+1)(n+2)}{3}$变形可得2Sn=nan+1-$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$,进而2Sn+1=(n+1)an+2-$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$,两式相减整理即得结论;
(2)通过记f(x)=x2-x-lnx且求导可知f(x)在[1,+∞)上是增函数,进而0<lnx≤x2-x,利用an=n可知$\frac{1}{ln{a}_{n+t}}$≥$\frac{1}{n+t-1}$-$\frac{1}{n+t}$,并项相加、放缩即可.
解答 证明:(1)∵$\frac{2{S}_{n}}{n}$=an+1-$\frac{(n+1)(n+2)}{3}$,
∴2Sn=nan+1-$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$,
2Sn+1=(n+1)an+2-$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$,
两式相减得:2an+1=(n+1)an+2-$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$-nan+1+$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$,
整理得:(n+2)an+1=(n+1)an+2-(n+1)(n+2),
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}$-1,即$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}$-$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=1,
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列;
∵a1=1,∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=1,
∴数列{an}的通项an=1+(n-1)=n;
(2)记f(x)=x2-x-lnx,则f′(x)=2x-1-$\frac{1}{x}$,
∵x≥1时,
∴f′(x)≥0,即f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴f(x)≥f(1)=1-1-0=0,
∴0<lnx≤x2-x;
∴$\frac{1}{lnx}$≥$\frac{1}{{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$,
又∵an=n,
∴$\frac{1}{ln{a}_{n+t}}$≥$\frac{1}{n+t-1}$-$\frac{1}{n+t}$,
∴$\frac{2}{ln{a}_{n+1}}$+$\frac{2}{ln{a}_{n+2}}$+…+$\frac{2}{ln{a}_{n+2015}}$>2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+2014}$-$\frac{1}{n+2015}$)
=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2015}$)
=2•$\frac{2015}{n(n+2015)}$
>$\frac{2015}{n(n+2015)}$,n∈N*.
点评 本题考查等差关系的确定,涉及函数的单调性等基础知识,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | a<d<c<b | B. | a<c<d<b | C. | b<a<d<c | D. | b<c<d<a |
A. | $\frac{19}{20}$ | B. | $\frac{19}{400}$ | C. | $\frac{1}{20}$ | D. | $\frac{95}{99}$ |
PM2.5日均值m(微克/立方米) | 空气质量等级 |
m<35 | 一级 |
35≤m≤75 | 二级 |
m>75 | 超标 |
(Ⅰ)期间刘先生有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
(Ⅱ)从所给15天的数据中任意抽取三天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望.
A. | (1,0),1 | B. | (-1,0),1 | C. | (0,1),1 | D. | (1,0),2 |