Question

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=-1．试问函数f（x）在区间[-6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而根据f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值，得到答案．

解答：解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．…（2分）
任取两个自变量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．…（8分）
因此f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值                  …（10分）
最小值为f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=-3；
最大值为f（-6）=-f（6）=3．…（12分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数，函数单调性与性质，是对函数性质及应用的综合考查．