题目内容
（2013•泰安二模）已知实数x，y满足约束条件
，若函数z=ax+by（＞0，b＞0）的最大值为1，则
+
的最小值为（ ）
|
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
分析：由已知利用线性规划可得3a+4b=1，而
+
=（3a+4b）（
+
）展开后利用基本不等式即可求解．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
解答：
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由直线ax+by=z（a＞0，b＞0）可得y=-
x+
，则
表示直线在y轴截距，截距越大z越大
由a＞0，b＞0可得-
＜0
∴直线ax+by=z过点B时，目标函数有最大值
由
可得B（3，4）
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，
即3a+4b=1，而
+
=（
+
）（3a+4b）=7+
+
≥7+4
当且仅当
=
时取等号
∴
+
的最小值7+4
．
故选A．
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，由直线ax+by=z（a＞0，b＞0）可得y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
| z |
| b |
由a＞0，b＞0可得-
| a |
| b |
∴直线ax+by=z过点B时，目标函数有最大值
由
|
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，
即3a+4b=1，而
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4b |
| a |
| 3a |
| b |
| 3 |
当且仅当
| 4b |
| a |
| 3a |
| b |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 3 |
故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．
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