题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,且
,
(1)求证:数列为等比数列,并求出数列
的通项公式;
(2)是否存在实数,对任意
,不等式
恒成立?若存在,求出
的取值范围,若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明略; (2)
【解析】
(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步证明数列为等比数列;
(2)利用(1)的结论,进一步利用分组法和恒成立问题求出实数λ的取值范围.
证明:(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且,①
当n=1时,,
则:当n≥2时,,②
①﹣②得:an=2an﹣2an﹣1﹣+
,
整理得:,
所以:,
故:(常数),
故:数列{an}是以为首项,2为公比的等比数列.
故:,
所以:.
由于:,
所以:(常数).
故:数列{bn}为等比数列.
(2)由(1)得:,
所以:+(
),
=,
=,
假设存在实数λ,对任意m,n∈N*,不等式恒成立,
即:,
由于:,
故当m=1时,,
所以:,
当n=1时,.
故存在实数λ,且.
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练习册系列答案
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【题目】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据,如下表所示:
已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.
一次性购物 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
顾客数(人) | 30 | 25 | 10 | ||
结算时间(分/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(1)求,
的值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率(频率代替概率).