Question

【题目】已知函数 ，且该函数的图象过点（1，5）． （Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）图象过点（1，5），即1+ =5，解得m=4．

所以 ．

因为f（x）的定义域为（∞，0）∪（0，+∞），定义域关于坐标原点对称，

又 ，

所以函数f（x）是奇函数．

（II）函数f（x）在区间（0，2）上是减函数．

证明：设x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，

则

=

因为x1，x2∈（0，2），则x1x2∈（0，4），

所以 ．

又因为x1＜x2，所以x1x2＜0，

所以 ，即f（x1）f（x2）＞0．

所以f（x）在区间（0，2）上是减函数．

【解析】（Ⅰ）根据条件求出m的值，结合函数奇偶性的定义进行证明即可，（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．