Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2．

(1)证明：平面ADEF⊥平面ABF．

(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求异面直线OC与DF所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，AD⊥平面ABF，由此能证明平面ADEF⊥平面ABF；

（2）推导出BC⊥平面ABF，BC⊥BF，再由BC⊥AB，得二面角A﹣BC﹣E的平面角为∠ABF＝30°，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DF所成角的余弦值．

(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，

所以AD⊥AF，

又AD⊥AB，AB∩AF＝A，

所以AD⊥平面ABF，

因为，

所以平面ADEF⊥平面ABF．

(2)解：因为平面ADEF⊥平面ABCD，AD⊥AF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，

所以AF⊥平面ABCD．

由(1)知AD⊥平面ABF，又AD∥BC，则BC⊥平面ABF，

从而BC⊥BF，

又BC⊥AB，所以二面角A-BC-E的平面角为∠ABF＝30°．

以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，

则．

因为三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，所以O为线段BE的中点，

则O的坐标为，，

又，则，

故异面直线OC与DF所成角的余弦值为．

评分细则：

第(2)问中，若未证明AF⊥平面ABCD，直接建立空间直角坐标系，则扣1分．