Question

设平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为。求：

（1）求实数的取值范围。

（2）求圆的方程。

（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。

Answer 1

解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝b1．

所以圆C 的方程为.

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．