Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点．

（1）求证：直线DF∥平面PAC；

（2）求证：PF⊥AD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先根据中位线，证明DF∥AC，结合线面平行的判定定理可证；

（2）利用线面垂直判定方法证明PF⊥平面ABC，从而可证结论.

证明：（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，

∴DF∥AC，

又∵DF平面PAC，AC平面PAC，

∴直线DF∥平面PAC．

（2）∵∠PAC=∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，AC⊥AP，

又∵AB∩AP=A，AB，AP在平面PAB内，

∴AC⊥平面PAB，

∵PF平面PAB，∴AC⊥PF，

∵PA=PB，F为AB的中点，∴PF⊥AB，

∵AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB=A，AC，AB在平面ABC内，

∴PF⊥平面ABC，

∵AD平面ABC，∴AD⊥PF．