Question

6．设各项为正数的数列{a_n}的前n和为S_n，且S_n满足：${S_n}^2-（{n^2}+n-3）{S_n}-3（{n^2}+n）=0，n∈{N_+}$．等比数列{b_n}满足：${log_2}{b_n}+\frac{1}{2}{a_n}=0$．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；      
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n；
（Ⅲ） 证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{{a_1}（{a_1}+1）}}+\frac{1}{{{a_2}（{a_2}+1）}}+…+\frac{1}{{{a_n}（{a_n}+1）}}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （I）当n=1时，$S_1^2+{S_1}-6=0$，而S_n＞0即a₁=S₁，当n≥2时，$（{S_n}+3）（{S_n}-{n^2}-n）=0$，可得${S_n}={n^2}+n$，再利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得a_n．由于${log_2}{b_n}+\frac{1}{2}{a_n}=0$．即可得出b_n．
（II）c_n=a_n•b_n=n$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
（Ⅲ）当k∈N₊时${k^2}+\frac{k}{2}＞{k^2}+\frac{k}{2}-\frac{3}{16}=（k-\frac{1}{4}）（k+\frac{3}{4}）$，可得$\frac{1}{{{a_k}（{a_k}+1）}}=\frac{1}{2k（2k+1）}=\frac{1}{4}\frac{1}{{k（k+\frac{1}{2}）}}＜\frac{1}{4}\frac{1}{{（k-\frac{1}{4}）（k+\frac{3}{4}）}}=\frac{1}{4}[\frac{1}{{k-\frac{1}{4}}}-\frac{1}{{（k+1）-\frac{1}{4}}}]$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）解：当n=1时，$S_1^2+{S_1}-6=0$，而S_n＞0即a₁=S₁=2
当n≥2时，$（{S_n}+3）（{S_n}-{n^2}-n）=0$，
∴${S_n}={n^2}+n$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n．
当n=1时也成立，
∴a_n=2n．
∵${log_2}{b_n}+\frac{1}{2}{a_n}=0$．
∴${b_n}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（II）解：c_n=a_n•b_n=n$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴T_n=1×1+$2×\frac{1}{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$n×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，（1）
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+n×$（\frac{1}{2}）^{n}$，（2），
（1）-（2）得$\frac{1}{2}{T_n}=1+{（\frac{1}{2}）^1}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-n×{（\frac{1}{2}）^n}$=$\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-n•{（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${T_n}=4-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}（n+2）$．
（Ⅲ）证明：当k∈N₊时${k^2}+\frac{k}{2}＞{k^2}+\frac{k}{2}-\frac{3}{16}=（k-\frac{1}{4}）（k+\frac{3}{4}）$，
∴$\frac{1}{{{a_k}（{a_k}+1）}}=\frac{1}{2k（2k+1）}=\frac{1}{4}\frac{1}{{k（k+\frac{1}{2}）}}＜\frac{1}{4}\frac{1}{{（k-\frac{1}{4}）（k+\frac{3}{4}）}}=\frac{1}{4}[\frac{1}{{k-\frac{1}{4}}}-\frac{1}{{（k+1）-\frac{1}{4}}}]$，
$\begin{array}{l}∴\frac{1}{{{a_1}（{a_1}+1）}}+\frac{1}{{{a_2}（{a_2}+1）}}+…+\frac{1}{{{a_n}（{a_n}+1）}}\\＜\frac{1}{4}[（\frac{1}{{1-\frac{1}{4}}}-\frac{1}{{2-\frac{1}{4}}}）+（\frac{1}{{2-\frac{1}{4}}}-\frac{1}{{3-\frac{1}{4}}}）+…+（\frac{1}{{n-\frac{1}{4}}}-\frac{1}{{n+1-\frac{1}{4}}}）]\\=\frac{1}{4}（\frac{1}{{1-\frac{1}{4}}}-\frac{1}{{n+1-\frac{1}{4}}}）=\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}＜\frac{1}{3}\end{array}$

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．