题目内容
【题目】已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)确定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,求a的取值范围;
(3)若对任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:设g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.
∴g(x)=2x.
∴ ,
∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴ =0,∴n=1,
∴ 又f(﹣1)=f(1),∴
=,解得m=2
∴
(2)解:由(1)知 ,
易知f(x)在R上为减函数,
又h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,
从而h(﹣1)h(1)<0,即 ,
∴(a+ )(a﹣
)<0,
∴﹣ <a<
,
∴a的取值范围为(﹣ ,
)
(3)解:由(1)知 ,
又f(x)是奇函数,∴f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0,
∴f(6t﹣3)<﹣f(t2﹣k)=f(k﹣t2),
∵f(x)在R上为减函数,由上式得6t﹣3>k﹣t2,
即对一切t∈(﹣4,4),有t2+6t﹣3>k恒成立,
令m(t)=t2+6t﹣3,t∈(﹣4,4),易知m(t)>﹣12,
∴k<﹣12,即实数k的取值范围是(﹣∞,﹣12).
【解析】(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(3)=8可确定y=g(x)的解析式,故y= ,依题意,f(0)=0可求得n,从而可得y=f(x)的解析式;(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,利用零点存在定理,由h(﹣1)h(1)<0,可求a的取值范围;(3)由(2)知奇函数f(x)在R上为减函数,对任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立6t﹣3>k﹣t2,分离参数k,利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围.
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案,需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
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