Question

【题目】已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；
（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设g（x）=ax（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．

∴g（x）=2x．

∴ ，

∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴ =0，∴n=1，

∴ 又f（﹣1）=f（1），∴ =，解得m=2

∴

（2）解：由（1）知 ，

易知f（x）在R上为减函数，

又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，

从而h（﹣1）h（1）＜0，即 ，

∴（a+ ）（a﹣ ）＜0，

∴﹣ ＜a＜ ，

∴a的取值范围为（﹣ ， ）

（3）解：由（1）知 ，

又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，

∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），

∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，

即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，

令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，

∴k＜﹣12，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．

【解析】（1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由g（3）=8可确定y=g（x）的解析式，故y= ，依题意，f（0）=0可求得n，从而可得y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，利用零点存在定理，由h（﹣1）h（1）＜0，可求a的取值范围；（3）由（2）知奇函数f（x）在R上为减函数，对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立6t﹣3＞k﹣t2，分离参数k，利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围．
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．