题目内容

【题目】已知函数.

(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;

(2)设,问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形,如果是,求出的值,如果不是,请说明理由;(可利用真命题:“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”)

(3)设,函数,若函数的图像有且只有一个公共点,求实数的取值范围.

【答案】1)当时,是偶函数;当时,是奇函数;当 时,既不是奇函数也不是偶函数;理由见解析;(2)是轴对称图形,;(3

【解析】

1)函数,表示出,根据奇函数与偶函数的定义,即可求得的值。

2)根据函数关于直线成轴对称图形,可得恒成立,代入函数解析式即可求得的值,即可得对称轴方程。

3)根据函数的图像有且只有一个公共点,即只有一个实数根。将方程化简,根据换元法转化为一元二次方程问题,再分类讨论方程的二次项系数及根的分布问题,即可求得实数的取值范围。

1)函数

所以

若函数为偶函数,则,即

化简可得 ,对任意实数成立,所以

若函数为奇函数,则,即

化简可得 ,对任意实数成立,所以

综上所述,当为偶函数;当时,为奇函数;当时,既不是奇函数,也不是偶函数

2)函数的图像关于直线成轴对称图形

为函数向左平移个单位得到的图像,因而关于y轴对称,即为偶函数

所以恒成立

函数

所以

化简可得

因为对于任意实数成立

所以,解得

所以函数是轴对称图形,对称轴为直线

3)因为

函数,且函数的图像有且只有一个公共点,

所以

化简可得

因为只有一个公共点,所以方程只有一个实数根

则方程化为由且只有一个正根

①当时,,不合题意,舍去

②当时,

,则

解得

时,代入方程可得,解得,符合题意

时,代入方程可得,解得,不合题意

,则

解得

由题意可知,方程有一个正根与一个负根,即

解得

综上所述,实数的取值范围为

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