题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)设,问函数
的图像是否关于某直线
成轴对称图形,如果是,求出
的值,如果不是,请说明理由;(可利用真命题:“函数
的图像关于某直线
成轴对称图形”的充要条件为“函数
是偶函数”)
(3)设,函数
,若函数
与
的图像有且只有一个公共点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
是偶函数;当
时,
是奇函数;当
时,
既不是奇函数也不是偶函数;理由见解析;(2)是轴对称图形,
;(3)
【解析】
(1)函数,表示出
,根据奇函数与偶函数的定义,即可求得
的值。
(2)根据函数关于直线成轴对称图形,可得
恒成立,代入函数解析式即可求得
的值,即可得对称轴方程。
(3)根据函数与
的图像有且只有一个公共点,即
只有一个实数根。将方程化简,根据换元法转化为一元二次方程问题,再分类讨论方程的二次项系数及根的分布问题,即可求得实数
的取值范围。
(1)函数
所以
若函数为偶函数,则
,即
化简可得 ,对任意实数
成立,所以
若函数为奇函数,则
,即
化简可得 ,对任意实数
成立,所以
综上所述,当时
为偶函数;当
时,
为奇函数;当
时,
既不是奇函数,也不是偶函数
(2)函数的图像关于直线
成轴对称图形
则为函数
向左平移
个单位得到的图像,因而
关于y轴对称,即
为偶函数
所以恒成立
函数
所以
化简可得
因为对于任意实数成立
所以,解得
所以函数是轴对称图形,对称轴为直线
(3)因为
则
函数,且函数
与
的图像有且只有一个公共点,
所以
化简可得
因为只有一个公共点,所以方程只有一个实数根
令
则方程化为由且只有一个正根
①当时,
,不合题意,舍去
②当时,
若,则
解得
当时,代入方程可得
,解得
,符合题意
当时,代入方程可得
,解得
,不合题意
若,则
解得
由题意可知,方程有一个正根与一个负根,即
解得
综上所述,实数的取值范围为
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