Question

（2011•盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x²+

y2

4

=1在第一象限的部分为曲线C，曲线C在其上动点P（x₀，y₀）处的切线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，且向量

OM

=

OA

+

OB

．
（1）求切线l的方程（用x₀表示）；
（2）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）求导函数，可得切线斜率，从而可得切线l的方程；
（2）确定A，B的坐标，可得向量坐标，在利用消参法，即可得到动点M的轨迹方程．

解答：解：（1）因为y=2

1-x2

，所以y′═-

2x

1-x2

，（3分）
故切线l的方程为y-2

1-x02

=-

2x0

1-x02

（x-x₀），即y=-

2x0

1-x02

x+

2

1-x02

．（5分）
（2）设A（x₁，0）、B（0，y₂），M（x，y）是轨迹上任一点，
在y=-

2x0

1-x02

x+

2

1-x02

中，令y=0，得x₁=

1

x0

；
令x=0，得y₂=

2

1-x02

，则由

OM

=

OA

+

OB

，得

x= 1 x0 y= 2 1-x02

（8分）
消去x₀，得动点M的轨迹方程为

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1）．（10分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．