题目内容
（2011•盐城二模）在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=
，b=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求 sin(2A-
)的值．
| 5 |
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求 sin(2A-
| π |
| 3 |
分析：（Ⅰ）利用正弦定理得到
=
，将a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，将a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A及cos2A的值，将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值．
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，将a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A及cos2A的值，将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）∵a=
，sinC=2sinA，
∴根据正弦定理
=
得：c=
a=2a=2
；
（Ⅱ）∵a=
，b=3，c=2
，
∴由余弦定理得：cosA=
=
，
又A为三角形的内角，
∴sinA=
=
，
∴sin2A=2sinAcosA=
，cos2A=cos2A-sin2A=
，
则sin（2A-
）=sin2Acos
-cos2Asin
=
．
| 5 |
∴根据正弦定理
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| sinC |
| sinA |
| 5 |
（Ⅱ）∵a=
| 5 |
| 5 |
∴由余弦定理得：cosA=
| c2+b2-a2 |
| 2bc |
2
| ||
| 5 |
又A为三角形的内角，
∴sinA=
| 1-cos2A |
| ||
| 5 |
∴sin2A=2sinAcosA=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
则sin（2A-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
4-3
| ||
| 10 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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