题目内容
【题目】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为
，求的最大值点
；
（2）以（1）中确定的作为
的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量
，求每盘游戏出现音乐的概率
，及随机变量的期望
；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）见解析.
【解析】
（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率
.然后求得导函数
,并令
求得极值点.再根据的单调情况,求得的最大值.
（2）由（1）可知,
.先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法,即可得随机变量
的期望
;
（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负数,即可说明分数变少.
（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：
,
由得
或
（舍）
当
时,
；
当
时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
∴当时,有最大值,即的最大值点；
（2）由（1）可知,
则每盘游戏出现音乐的概率为
由题可知
∴
；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量
,则的可能值为-300,50,100,150；
∴
；
；
；
；
∴
；
令
,则
；
所以
在
单调递增；
∴
；
即有
；
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.
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