Question

（本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）由，，解得，
故椭圆的标准方程为.　　　　　　　 　……………………3分
（2）设,
则由，得，
即，
∵点M，N在椭圆上，∴ ……6分
设分别为直线的斜率，由题意知，
，∴，　　　　……………………8分
故
，
即（定值）　　　　　　　　　　　　……………………10分
（3）由（2）知点是椭圆上的点，
∵，
∴该椭圆的左右焦点满足为定值，
因此存在两个定点，使得为定值。　　　…………………14分

略