题目内容

6.三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=$\sqrt{13}$,SB=$\sqrt{29}$,
(1)证明:SC⊥BC;
(2)求三棱锥的体积VS-ABC

分析 (1)利用SA⊥平面ABC,根据三垂线定理,可得SC⊥AC.
(2)求三棱锥S-ABC的体积,由题设条件得,棱锥的高是SA,底面是直角三角形,体积易求.

解答 (1)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥AB,SA⊥AC,
又AB∩AC=A,
∴SA⊥平面ABC…(4分)
∴SA⊥BC…(5分)
又∠ACB=90°,∴AC⊥BC
∴BC⊥平面SAC…(7分)
∴SC⊥BC              …(8分)
(2)解:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=$\sqrt{13}$,∴AB=$\sqrt{17}$…(10分)
又在△SAB中,SA⊥AB,AB=$\sqrt{17}$,SB=$\sqrt{29}$,∴SA=2$\sqrt{3}$…(12分)
又SA⊥平面ABC,∴VS-ABC=$\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}×2×\sqrt{13})×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$…(…(14分)

点评 本题以三棱锥为载体,考查线线垂直,考查几何体的体积,关键是正确运用线面垂直的判定.

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