题目内容

10.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x-x2
(1)求x>0时,f(x)的解析式;
(2)问是否存在这样的正实数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.

分析 (1)根据f(x)为奇函数,可设x>0,从而-x<0,从而f(-x)=-x-x2=-f(x),解出f(x)即可得出x>0时的f(x)的解析式;
(2)由上面x>0时,f(x)=x2+x,从而可判断此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,从而可根据题意有$\left\{\begin{array}{l}{f(a)=4a-2}\\{f(b)=6b-6}\end{array}\right.$,这样解出a,b,并满足a<b,即可找出所有的a,b值.

解答 解:(1)设x>0,则-x<0,于是f(-x)=-x-x2
又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x);
即x>0时,f(x)=x+x2
(2)假设存在这样的数a,b;
∵a>0,且f(x)=x+x2在x>0时为增函数;
∴x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a-2,6b-6];
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a=4a-2}\\{{b}^{2}+b=6b-6}\end{array}\right.$;
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2,或3}\\{a=1,或2}\end{array}\right.$;
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$;
∵a<b;
∴a,b的取值为$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$.

点评 考查奇函数的定义,二次函数的单调性,以及增函数在闭区间上的值域求法,注意条件a<b.

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