题目内容

设函数f(x)=
4x
2+4x
，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)．
分析：（1）直接利用用定义，通过f（x1）-f（x2）化简表达式，比较出大小即可证明函数f（x）是R上的单调性；
（2）化简f（t）+f（1-t），证明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末两项的和为1，利用倒序相加法，求出f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)．
解答：解：（1）证明：设任意x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
4x1
2+4x1
-
4x2
2+4x2
=
2(4x1-4x2)
(2+4x1)(2+4x2)
，
∵x1＜x2，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数                                   …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=
4t
2+4t
-
4t-1
2+4t-1
=
4t
2+4t
-
4
24t+4
=
2+4t
2+4t
=1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1                                 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(
1
2012
)+f(
2011
2012
)=1，f(
2
2012
)+f(
2010
2012
)=1，
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)+f(
2011
2012
)+f(
2010
2012
)+f(
2009
2012
)+…+f(
1
2012
)=2011，
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)=
2011
2
…（14分）
点评：本题考查函数的单调性的证明，函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
4x+2
x2-1
-
3
x-1
(x＞1)
a-1(x≤1)
在点x=1处连续，则a=（　　）
A、、
1
2
B、）
2
3
C、）
4
3
D、）
3
2
设函数f(x)=
-4x，x≤0
x2，x＞0
，若f(a)=4，则实数a=（　　）
设函数f(x)=
4x，x∈(-∞，1]
log81x，x∈(1，+∞)
则f(
1
2
)的值为
2
2
．
设函数f(x)=
4x-1
4x+1
（1）解不等式f(x)＜
1
3
；（2）求函数f（x）的值域．
设函数f(x)=
4x(x≤0)
log2x (x＞0)
，则f（f（-1））的值为（　　）
A、2B、1C、-1D、-2

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