题目内容
（2011•上海模拟）设
，
，
是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：
①方程
x2+
x+
=
(
≠
)不可能有两个不同的实数解；
②方程
x2+
x+
=
(
≠
)有实数解的充要条件是
2-4
•
≥0；
③方程
2x2+2
•
x+
2=0有唯一的实数解x=-
；
④方程
2x2+2
•
x+
2=0没有实数解．
其中真命题有
| a |
| b |
| c |
①方程
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| 0 |
②方程
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| 0 |
| b |
| a |
| c |
③方程
| a |
| a |
| b |
| b |
| ||
|
④方程
| a |
| a |
| b |
| b |
其中真命题有
①④
①④
．（写出所有真命题的序号）分析：对于①、②，是关于向量的方程，将方程
x2+
x+
=
(
≠
)变形可得
=-x2
-x
，由向量共线的条件分析①，也不能按照实数方程有解的条件来判断，对于③、④，是实系数方程，利用一元二次方程的根的判别式和数量积的性质，对题设中的四个选项依次进行判断，能够得到结果．
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| 0 |
| C |
| a |
| b |
解答：解：对于①：
对方程
x2+
x+
=
(
≠
)变形可得
=-x2
-x
，
由平面向量基本定理分析可得
x2+
x+
=
(
≠
)最多有一解，
故①正确；
对于②：
方程
x2+
x+
=
(
≠
)是关于向量的方程，不能按实数方程有解的条件来判断，
故②正确；
对于③、④，方程
2x2+2
•
x+
2=0中，
△=4
•
2-4
2•
2，
又由
、
不平行，必有△＜0，
则方程
2x2+2
•
x+
2=0没有实数解，
故③不正确而④正确
故答案为：①④．
对方程
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| 0 |
| C |
| a |
| b |
由平面向量基本定理分析可得
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| 0 |
故①正确；
对于②：
方程
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| 0 |
故②正确；
对于③、④，方程
| a |
| a |
| b |
| b |
△=4
| a |
| b |
| a |
| b |
又由
| a |
| b |
则方程
| a |
| a |
| b |
| b |
故③不正确而④正确
故答案为：①④．
点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式和数量积的性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
（2011•上海模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则