Question

（2011•上海模拟）已知数列{a_n}的前n项和Sn=2n2+pn，a7=11，若a_k+a_k+1＞12，则正整数k的最小值为

6

．

Answer 1

分析：根据已知前n项和的式子以及a₇的值，算出p=-15，从而Sn=2n2-15n．再用等差数列的性质将a_k+a_k+1＞12转化为
S_2k=k（a_k+a_k+1）＞12k，得到关于k的不等式，解之即得k的取值范围，从而得到正整数k的最小值．

解答：解：∵前n项和Sn=2n2+pn，
∴S₇=2×7²+7p=98+7p，S₆=2×6²+6p=72+6p
可得a₇=S₇-S₆=26+p=11，所以p=-15
∴Sn=2n2-15n
∵数列{a_n}是等差数列，∴a_k+a_k+1=a₁+a_2k
因此{a_n}的前2k项和S_2k=

2k(a1+a2k+1)

2

=k（a_k+a_k+1）＞12k
又∵S_2k=2（2k）²-15（2k）=8k²-30k
∴8k²-30k＞12k，解之得k＞

21

4

（舍负）
因此，正整数k的最小值为6
故答案为：6

点评：本题给出等差数列的前n项和的表达式，叫我们求满足a_k+a_k+1＞12的最小正整数k的值，着重考查了等差数列的通项与求和等知识，属于基础题．