题目内容
【题目】已知分别是椭圆
的左、右焦点,离心率为
,
分别是椭圆的上、下顶点,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于相异两点
,且满足直线
的斜率之积为
,证明:直线
恒过定点,并采定点的坐标.
【答案】(1)(2)直线
恒过定点
.
【解析】试题分析:(1)设出相关点坐标,利用和离心率为
得到几何元素间的关系即可求解;(2)联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、斜率公式得到等式,进而利用直线方程判定其过定点.
试题解析:(1)由题知,
,
,∴
,
.
∴ ①
由,得
② 又
③
由①②③联立解得:
∴椭圆的方程为
.
(2)证明:由椭圆的方程得,上顶点
,
设,
,由题意知,
由得:
∴,
又,
,
由,得
,
即:,
∴,
化简得:
解得:,结合
知
,
即直线恒过定点
.
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练习册系列答案
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【题目】某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)求a,b,c的值;
(2)先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(3)某评估机构以指标(
,其中
表示
的方差)来评估该校开展安全教育活动的成效.若
≥0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案.