题目内容

(本小题满分13分)
如图,已知为平面上的两个定点,且为动点,的交点).

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;
(Ⅱ)若点的轨迹上存在两个不同的点,且线段的中垂线与直线相交于一点,证明的中点).
解:(Ⅰ)以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.
由题设
,而.
∴点是以为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点的轨迹方程是.…………………………………(4分)
(Ⅱ)设.
,且,即.
在轨迹上,∴.
.
代入整理,得
.
,∴
,∴
,∴.
,即.……………………………………………(13分)
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