题目内容
(本小题满分13分)
如图,已知、为平面上的两个定点,,且,(为动点,是和的交点).
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;
(Ⅱ)若点的轨迹上存在两个不同的点、,且线段的中垂线与直线相交于一点,证明<(为的中点).
如图,已知、为平面上的两个定点,,且,(为动点,是和的交点).
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;
(Ⅱ)若点的轨迹上存在两个不同的点、,且线段的中垂线与直线相交于一点,证明<(为的中点).
解:(Ⅰ)以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.
由题设,,
∴,而.
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点的轨迹方程是.…………………………………(4分)
(Ⅱ)设,,.
∴,且,即.
又、在轨迹上,∴,.
即,.
代入整理,得
.
∵,∴.
∵,,∴.
∵,∴.
∴,即<.……………………………………………(13分)
由题设,,
∴,而.
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点的轨迹方程是.…………………………………(4分)
(Ⅱ)设,,.
∴,且,即.
又、在轨迹上,∴,.
即,.
代入整理,得
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∵,∴.
∵,,∴.
∵,∴.
∴,即<.……………………………………………(13分)
略
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