题目内容

(本题满分14分)

在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段轴的交点, .

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;

(Ⅱ) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦

,设 的中点分别为.求证:直线

过定点

(本题满分14分)

解:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且,∴是线段的垂直平分线.…………………….2分

是点到直线的距离.

∵点在线段的垂直平分线,∴.…………4分

故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:.…………………………………………………….7分

(Ⅱ) 设,直线AB的方程为

…………………………………………………….8分                                     

         则

(1)—(2)得,即,……………………………………9分

代入方程,解得

所以点M的坐标为.……………………………………10分

同理可得:的坐标为

直线的斜率为,方程为

,整理得,………………12分

显然,不论为何值,均满足方程,

所以直线恒过定点.………………14

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